Где равенство работает: n = 2

У прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 квадрат на гипотенузе состоит ровно из стольких клеточек, сколько в двух квадратах на катетах: 9 + 16 = 25. Такие целые тройки называются пифагоровыми, и их бесконечно много. Именно рядом с этой задачей Ферма и оставил свою знаменитую заметку.

3² + 4² = 5² примитивная

9 + 16 = 25 - посчитай клеточки, если не веришь.

Выбери тройку

a	b	c
3	4	5	прим.
6	8	10
5	12	13	прим.
8	15	17	прим.
12	16	20
7	24	25	прим.
10	24	26
20	21	29	прим.
16	30	34
12	35	37	прим.
24	32	40
9	40	41	прим.
27	36	45
14	48	50
20	48	52
28	45	53	прим.
40	42	58
11	60	61	прим.
33	56	65	прим.
16	63	65	прим.
32	60	68
48	55	73	прим.
24	70	74
48	64	80
13	84	85	прим.
39	80	89	прим.
28	96	100
15	112	113	прим.

Фабрика троек Евклида

Возьми любые m > k ≥ 1 и получи тройку: a = m² - k², b = 2mk, c = m² + k².

(2² - 1², 2·2·1, 2² + 1²) → (3, 4, 5)

Почему клеточки складываются

Теорема Пифагора говорит про площади: квадрат на гипотенузе всегда равен сумме квадратов на катетах. Обычно площади получаются дробными, но иногда все три стороны - целые числа. Это и есть пифагорова тройка: равенство a² + b² = c² в целых числах.

А теперь кубы

Раз с квадратами так легко, кажется, что и с кубами получится: подобрать целые a, b, c с a³ + b³ = c³. Ферма утверждает: не выйдет никогда, ни для кубов, ни для любой степени выше. Попробуй сам - и увидишь вечные «промахи».